1. Cuaderno de Trabajo: Física I
4) Dinámica de un sistema de
partículas
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99

2. Cuaderno de Trabajo: Física I
4) Dinámica de un sistema de partículas
r
4,1) Cantidad de movimiento p de un sistema de partículas
n partículas r r r r r
psp ≡ p ≡ p1 + p2 + K + pn
r
mi
≡ ∑ pi
i
r
vi
r i≡n r r m
p ≡ ∑ mi vi u [ p ] ≡ kg
i ≡1 s
rr
4,2) Impulso de una fuerza, I F
Definición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en el
tiempo.
r
F rr tf r
I t1F t2 ≡ ∫ Fdt
→ ti
m
r uur
Caso particular: F ≡ cte
rr r
I t1F t2 ≡ F ∆ , ∆ ≡ t 2 −t1
→ t t
r
u  I  ≡ Ns
 
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 100

3. Cuaderno de Trabajo: Física I
( )
rF r
r
4,3) R ≡ R I R, p
El impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de la
cantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra forma
alternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzas
que dependen del tiempo.
r
F ≡ FR
rFr r
I 1 partícula p
r r
r
 dp  r
I FR
≡ ∫ FR dt ≡ ∫   dt ≡ ∆p
 dt 
rr r
I F ≡ ∆p
Este resultado que puede entenderse para una partícula puede extenderse
para un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podría
considerarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna de
estas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estricto
cumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultante
externa actuando sobre el SP, por lo tanto,
SP
rFr r
I R r p rFr
r
r I R , EXT ≡ ∆p
FR ≡ FR ,EXT
r r uur r FR , EXT r
r
Según la última ecuación para que el p ≡ pSP ≡ cte el I ≡o,
r r uur r FR ,EXT r
r
p ≡ pSP ≡ cte ← I ≡o
r
Esto quiere decir que para un SP donde no exista FR , EXT o el efecto integral de
r
ella se cancele, el pSP deberá de conservarse.
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4. Cuaderno de Trabajo: Física I
4,4) Centro de masa de un SP, CM
Sea un sistema de partículas de “n” partículas,
r r r
r m1r1 + K + mi ri + K + mn rn
rcm ≡
m1 + K + mi + mn
r 1 r 1 r
∑ mi ri ≡
M∫
rcm ≡
M
ρ dv r
i
r 1 r 1 r
∑m v ≡
M∫
vcm ≡
M
i i ρ dv v
i
r 1 r 1 r
∑mi ai ≡
M∫
acm ≡
M
ρ dv a
i
¿Como se vincula el CM con el SP?
En el contexto cinemático,
r r r
p ≡ psp ≡ ∑ mi vi ⇔ CM
i
r 1 s
vcm ≡ { p} →
r r
p ≡ M vcm
M
Y en el dinámico,
r r d r d r r r r
FR ≡ FR ,ext ≡ p ≡ (mvCM ) ≡ M acm → FR ,ext ≡ M acm
dt dt
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 102

5. Cuaderno de Trabajo: Física I
De estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puede
r
reemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según rcm ,
r r r
FR p ≡ mv r
FR ,CM
r
vCM
mi
≡
M CM
Observaciones:
i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫
En las sumas discretas las mi son reemplazadas por ρ dv , donde
ρ : densidad volumétrica de masa
dv: elemento de volumen
ii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómeno
desde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarse
r
r r
sustancialmente ,por ejemplo, la vCM siempre es cero, esto es, v 'CM ≡ 0 .
¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)
¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP
¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla
¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos
¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana
¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física
¿? Se usara CM tecnológicamente
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 103

6. Cuaderno de Trabajo: Física I
4,5) Energía para un sistema de partículas
i) Energía Cinética, Ek
1
Ek ≡ Ek , sp ≡ ∑Ek ,i ≡ ∑ mi vi2
i i 2
Relación entre Ek,0 y Ek,cm
1 2
Ek ,o ≡ Mvcm + Ek ,cm
2
ii) Energía Potencial, Ep
E p , sp ≡ E p ≡ ∑E p ,i
i
Si la E p ,i fuese E pg ,i , entonces, E pg ≡ ∑E pg ,i ≡ MgzCM
i
iii) Energía Mecánica, EM
EM , sp ≡ EM ≡ ∑EM ,i
i
4,6) Momento Angular, L
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 104

7. Cuaderno de Trabajo: Física I
r
L → descripción rotacional de los movimientos
r r
rr
F → rotaciones… τ F ≡ τ FR ,ext
i) L para una partícula
m
r
v
r r r r r r
r 
L0 ≡ r xp ≡ mr xr
0
LAB ≡ FIJO
ii) L para un SP
r r r r r r r
L ≡ Lsp ≡ ∑Li ≡ ∑ri xpi ≡ ∑mi ri xri

i i i
r r
Relación entre Lo y Lcm
0
≡ CM
r r r r

Lo ≡ MrCM xrCM + LCM
4,7) Torque para un sistema de partículas,τ
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8. Cuaderno de Trabajo: Física I
i) n =1
m
•
r
r r r r
r τ 0 = rxF
0 F
ii) n partículas
m1 ° mi r n
r n
r r
τ 0 = ∑τ i = ∑ ri xFi
r i =1 i =1
0 ri
r
Fi
r r
Relación entre τ y L
r r r d r
p → L : rotacional, están vinculados por FR = p
dt
r rr
F → τ F : rotacional, están vinculados por ¿?
r r
R = R ( L,τ )
r
r d r r dL
τR = L → τ R ,ext =
dt dt o
r r
Esta ecuación simple que vincula a τ y L es valida cuando,
i) O: fijo en el espacio
ii) O: el CM, 0 = 0’ =CM
iii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cm
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9. Cuaderno de Trabajo: Física I
r d r d r r r r r
Ahora, de ii) FR ,ext = p = { mv } = m { a} = Ma cm , esto es, FR ,ext = Macm ,
dt dt
esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetría
completa entre lo trasnacional y lo rotacional.
Para ciertas direcciones especiales se cumple,
r r
L = Iw ejes principales de inercia
I: momento de inercia
r r
τ R ,ext = I α
Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas,
dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) a
las rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligados
a la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, por
supuesto.
El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de la
siguiente forma,
ξ
ri mi I ξ ≡ ∑ mi ri 2
i
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10. Cuaderno de Trabajo: Física I
S4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t
r
j (ˆ r
) ( )
= 0 s), donde r1 = 4i + 3 ˆ + 2k m, r2 = 5i + 12 ˆ m, m1 = 2m2 = 1kg y las
ˆ ˆ j
r ˆ r ˆ j ˆ
velocidades en función del tiempo son v1 = tk m/s y v2 = 5ti − 6 ˆ + k ( )
m/s. Halle para t = 1 s,
a) El centro de masa
b) La fuerza sobre el sistema
c) El momentum angular respecto de O
d) El momentum angular del centro de masa
e) El momento de inercia respecto del eje z.
f) La energía cinética respecto del centro de masa
g) La energía cinética respecto de O
h) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.
SOLUCION:
r r1 (0) ≡√
v2 r2 (0) ≡√
m2 m1 ≡ 1
r m2 ≡ 0,5
r2 m1
r
v1 ≡ t k
r
r1
r
( j ˆ
v2 ≡ 5ti − 6 ˆ + k
ˆ )
r
v1
r
a) rCM ≡ ? t ≡ 1s
r 1 r r
rCM (t ) ≡ { m1r1 ( t ) + m2 r2 ( t ) }
M
r r r r
b) F ≡ ?, F ≡ f1 + f 2
r r
c) L ≡ L0
r r r r r r r
L ≡ L1 + L2 ≡ m1 ri xv1 + m2 r2 xv 2 / t ≡ 1
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11. Cuaderno de Trabajo: Física I
r r r
d) LCM ≡ L0' ≡ L′
r r
r  ≡ m1v1 + m2 v 2 / t ≡ 1
r
vCM ≡ rCM
m1 + m2
e) I = ¿?
f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CM
Ek ≡ Ek,CM
1 1
Ek ,cm ≡ m1v '1 + m2v '2
2 2
2 2
cm ≡ móvil:
r r r r
v '1 ≡ v1,cm ≡ v1 − vcm
r r r
v1 ≡ v0′ / 0 + v '1
r r r
v '2 ≡ v2 − vcm
1
Ek ,cm ≡ Ek − MvCM
2
2
1 1
Ek ≡ m1v12 + m2 v2
2
2 2
=√√ , t ≡ 1
g) Ek
r r 
h) c) – d): I - Icm≡ M rcm xrcm
1 2
f) – g): Ek – Ekicm ≡ m v cm
2
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12. Cuaderno de Trabajo: Física I
4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques o
colisiones.
El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder a
conocimiento valioso acerca de,
→ Estructura de la materia:
Experimento de E Rutherford
α
Modelo planetario
Aceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M)
P P: INF n
1012 eV
→ Caracterización de materiales:
e=√
θi=√
µ
θr=√
µ : se puede conocer!
→ Eventos de extinción masiva, EEM
Extinción de saurios.
Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para
2027.
r
Este fenómeno es producido por fuerzas impulsivas FI , las cuales se
caracterizan por:
- Ser muy intensas 103-4 r
- ∆t: tiempo de actuación de los FIr del orden ∼ 10-3 a 10-4
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 110

13. Cuaderno de Trabajo: Física I
Y
-FI FI
X
Línea de colisión o impacto: x
r 
En la aproximación de los FI se considera la conservación del p para todo
choque.

p ≡ cte
 
p ≡ p'
Los choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,
i) Choques frontales o unidimensionales:
Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.
Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc.
v1 v2 x
x: Línea de colisión o impacto
ii) Choques oblicuos o bidimensionales:
r
Las v de las partículas en un plano, este plano es determinado por la L de
colisión y cualquier otra L ⊥ a ella.
r r r1
v11 y p' v2
x
r r r
v1 p v2
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 111

14. Cuaderno de Trabajo: Física I
iii) Choques Espaciales o Tridimensionales
r
v s en el R3.
Los choques también pueden describirse en función de las Ek
involucradas,
i) Choques elásticos
Ek = cte → Eki ≡ Ekf
ii) Choques inelásticos
Ek ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemplo
energía potencial de deformación.
Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidad
definida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de la
colisión,
v12 ' = −ev12 , v12 ≡ v1 − v2
Donde: e: coeficiente de restitución
v12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v2
v '12 : velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’2
v '2 − v '1
e=
v1 − v2
Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el caso
bidimensional respecto de la L de colisión o impacto,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 112

15. Cuaderno de Trabajo: Física I
r r r
v '1 y p' v '2
r r v '2 − v '1 v '2 x − v '1x
v '1x v '2 x x e= =
v1 − v2 x
v1x − v2 x
r r r
v1 p v2
r r
v1x v2 x
r
En los choques por lo general se miden las v s o en ciertos casos las masas,
→vs =?
v '1 , v '2 = ?
r r
1) p = p ' → p = p '
r r r r
→ m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2
2) Es e
Ek = Ek’ o e=1o
Ek = Ek’+Q 0≤e<1
1 2 1 2 1 1 v '2 − v '1 v ' − v '1x
Ek = mv1 + mv2 = m1v1 + m2 v2
1 2
e= = 2x
2 2 2 2 v1 − v2 x v1x − v2 x
Y
r
S4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo VA
sobre una superficie horizontal lisa cuando chocan r
VB
según un impacto central oblicuo, como se indica
A B X
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 113

16. Cuaderno de Trabajo: Física I
en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes del choque
r r r
la velocidad de A fue V A = 5i + 5j m / s y la velocidad de B fue
r r r
V B = - 12i + 5j m / s .
Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determine
las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total de
energía cinética perdida.
SOLUCION:
Y
r
VA mA = 10
r
VB mB = 6
vA = (5 i + 5 ˆ ) m/s
ˆ j
A B X vB = -12 i +5 ˆ
ˆ j
e= 0,7
a) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,
r r r r
1°) p ≡ p ' → p = p '/ x
r r r r
mA v A + mB vB = mAv ' A + mB v 'B
{ˆ j } { ˆ j } ˆ j{ } {
10 5i + 5 ˆ + 6 −12i + 5 ˆ = 10 v ' Ax i + v Ay ˆ + 6 v 'Bx i + vBy ˆ
ˆ j }
x : 50 − 72 = 10v ' Ax + 6v 'Bx ≡ −22
v2 x − v1' x 1 = A
'
2°) e = 0, 7 = :
v1x − v2 x 2 = B
vBx − v Ax
' '
0, 7 =
v Ax − vBx
vBx − vAx
' '
= → vBx − vAx ≡ 17 × 0, 7 ≡ 11, 9
' '
{ 5} − { −12}
vBx ≡ ?
'
v Ax ≡ ?
'
r'
→ v A = v Ax i + 5 ˆ
' ˆ
j ∧ vB = vBx i + 5 ˆ
' ' ˆ
j
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 114

17. Cuaderno de Trabajo: Física I
Ek − Ek'
b) x 100%
Ek
Ek =
1
2
2 2 1
mA { v Ax + v Ay } + mB { vBx + vBy }
2
2 2
E 'k =
1
2
{ 2 2
}1
2
2
{ 2
mA v ' Ax + v ' Ay + mB v 'Bx + v 'By }
S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidos
por una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en la
figura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V 0 = 6 m/s
sobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial del
sistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad que
tiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede.
Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg.
Y' V 'A
A
A
60° 60°
V0 '
B X’
B
V 'B
SOLUCION:
Piso horizontal liso
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 115

18. Cuaderno de Trabajo: Física I
V0 = 6
Epe = 27,12 v 'A =?
mA = 0,9
'
mB = 1,36 v B =?
r uur r r
p ≡ cte : p ≡ p′
r r r r' r' r
p ≡ mAv A + mB vB ≡ mAv A + mB vB ≡ p '
r
EM = cte ← wFNC ≡ 0 ← FNC = N
EM = E’M
1 1 1 1
EM ≡ mAv A + mB vB + E pe = mAv '2 + mB vB
2 2
A
'2
2 2 2 2
Desde el CM:
→ v 'A , vB : Epe →Ek
'
r r
→ p ' : p desde el CM
r r r r r r r
p ' ≡ 0' ← p ' ≡ MvCM → p ' = m0 ' ≡ 0
m A v 'A ≡ m B v B (l)
'
→ E M ≡ cte
1 1
EM ≡ 0 + E pe ≡ mAv A + mB vB ≡ E 'M (ll)
'2 '2
2 2
vA ≡ ?, vB ≡ ?
' '
Calculando velocidades desde O
r r r'
v A ≡ vCM + v A
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 116

19. Cuaderno de Trabajo: Física I
r r r'
vB + vCM + vB
r r
v A ≡ ?, vB ≡ ?
S4P4) Un niño de m kg de masa se encuentra
inicialmente parado sobre un tablón de M A B
kg de masa y L m de longitud, como X
muestra la figura. Si el niño empieza a O L
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 117

20. Cuaderno de Trabajo: Física I
r ˆ
moverse con una v ≡ − v 0 i m/s (respecto de O) y la superficie X es lisa,
determine:
a) La velocidad del tablón (respecto de O.
b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón.
c) La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este en
A.
d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?
SOLUCION:
a)
V -v0
M m
o X
m 
0 ≡ MV + m(-v0) → V ≡   v0
M 
b)
-(v0 + V)
m o’
O xA X
L L ML
vn / t ≡ − ( v0 + V ) → t ≡ ≡ ≡
v0 + V v + m v v0 ( M + m )
0 0
M
t: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para que
el niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando al
tablón,
 m  ML mL
→ xA ≡ V × t ≡   v0 × → xA ≡
 M  v0 ( M + m ) ( M + m)
mL L L
c) De b) xo ' ≡ + ≡ { M + 3m}
( M + m) 2 2( M + m)
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 118

21. Cuaderno de Trabajo: Física I
d) vcm ≡ 0
S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de Y
igual masa “m” que están unidas por medio
de barras rígidas de igual longitud “l” y de m
masa despreciable. El sistema está
l
inicialmente en reposo sobre una superficier
horizontal lisa. Se aplica un impulso I , X
r
como se indica en la figura, I = I i , para t r
= 0. Determine: I
r

a) La velocidad del CM, r .
cm
r
b) La velocidad angular del sistema, w .
SOLUCION:
y
m
0 x
l cm
r
I
ˆ
I ≡ Ii
r r
a) vcm ≡ ?
r FR , EXT r
r r
I ≡ I ≡ ∆P
r r r r r r
∆P ≡ P(t ) − P (0) → P ≡ { 4m} vcm − 0
r r r
r
∆P ≡ { 4m} vcm ≡ I → r
vcm ≡
I
4m
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 119

22. Cuaderno de Trabajo: Física I
r r
b) w≡?
r r
r dL r ∆w
CM: τ R ,ext ≡ ≡ Iα ≡ I
dt ∆t
r r r r
∆t → 0 τ R ,ext ∆t ≡ ( F lk ˆ)∆t ≡ ( I )l ≡ I ∆w (Problema escalar)
{
( Fl )∆t ≡ ( F ∆t )l ≡ I l ≡ 4ml 2 } { w − 0} → w≡
I
4ml
S4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a
través de la esfera de un péndulo de masa
M saliendo con una velocidad v/2. La esfera
pendular cuelga del extremo de la cuerda 0
de longitud l. ¿Cuál es el menor valor de v
para el cual la esfera complete una l
circunferencia?
v
v
2
SOLUCION:
r r r
Por conservación del L debido a que el τ R ,ext ≡ 0,
r uur
L ≡ cte
v
L ≡ mlv ≡ L ' ≡ MlV + ml
2
Asumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después.
 r uur v 
 p ≡ cte : mv ≡ MV + m , ojo : IDEM 
 2 
Por conservación de la Energía. Igualando EKA ≡ E pgB ,
B
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 120

23. Cuaderno de Trabajo: Física I
l
V
A
M
1
EKA ≡ mv 2 ≡ E pgB ≡ mg (2l ) → v ≡ 4lg
2
Con lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, V > 2 gl
r uur
, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de L ≡ cte ,
m mv
v ≡ MV → V ≡
2 2M
mv 4M
→ > 2 gl → v>
m
gl
2M
S4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y se
halla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales que
inicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. La
2
explosión tiene un valor Q igual a Mv0 . Determine los puntos donde
los fragmentos chocarán con el suelo con relación al punto
directamente debajo de la granada en el momento de la explosión.
SOLUCION:
y M/2 M/2
h M -v’ v’
v0 CM
CM:
x0 x
R x0 P
r r M  M 
p' ≡ 0:0 ≡   v1 '−   v2 ' → v1 ' ≡ v2 ' ≡ v '
 2   2 
1 M  1 M  M
Q ≡ M v0 ≡ 
2
 (v ') + 
2
 (v ') ≡
2
(v ') 2 → v ' ≡ 2v0
2 2  2 2  2
Ahora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 121

24. Cuaderno de Trabajo: Física I
v y ( 0 ) ≡ −v0  y ( t ) ≡ y ( 0 ) + v y (0)t − 5t 2

en el eje y el CM realiza MRUV y ( t ) ≡ 0  0 ≡ h − v0t − 5t
2
y ( 0 ) ≡ h  → 5t 2 + v0t − h ≡ 0

−v0 ± v0 + 20h
2
t1,2 ≡
10
v0 + 20h − v0
2
t≡
10
Con lo que,
 v 2 + 20h − v 
 0
xR ≡ x0 − 2v 0t → xR ≡ x0 − 2v 0  0 
 10 
 
y
 v 2 + 20h − v 
 0 
xR ≡ x0 + 2v 0t → xR ≡ x0 + 2v 0  0 
 10 
 
¿? Como seria si se analizara desde O
r
O : v1 ≡ v ' i − v0 ˆ
ˆ j
r
v2 ≡ −v ' i − v0 ˆ
ˆ j
Por conservación de la energía,
1 M
1
2
Mv0 + Mv0 + Mgh ≡ 
2 2
2 2
{ v ' 2 + v02 } + M gh +  1 M { v ' 2 + v02 } + M gh
2  2 2
  2 

3 M
2
M v0 ≡
2
2
{ v ' 2 + v02 } → 2v02 ≡ v ' 2→ v ' ≡ 2 v0
…
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 122